斐波那契—卢卡斯数列

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斐波那契数列1,1,2,3,5,8…,和卢卡斯数列1,3,4,7,11,18…,具有相同的性质:从第三项开始,每一项都等于前两项之和,我们称之为斐波那契—卢卡斯递推。凡符合斐波那契—卢卡斯递推的数列就称为斐波那契—卢卡斯数列。

别名有斐波那契—卢卡斯序列,推广斐波那契数列,推广卢卡斯数列,推广兔子数列等。

一般地,符合f(n) = f(n-1)+ f(n-2),f(n-2)=f(n)- f(n-1)的整数数列f(n),都是斐波那契—卢卡斯数列。

为区别不同的斐波那契—卢卡斯数列,我们根据前两项来标定斐泪翻组台波那契—卢卡斯数列,如

特别地,常数数列0,0,0…:F[0,0],作为下述斐波那契—卢卡斯数列群的单位元素。RB莱比锡

任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那格戒辣契—卢卡斯数列殃慨迎。

f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+6)=f(n+5)*4

f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+10)=f(n+7)*11

f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+14)=f(n+9)*29

f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+18)=f(n+11)*76

斐波那契数列的黄金特征1最小,也就是前后项之比接近黄金比例最快,我们称为黄金特征,黄金特征1的数列只有斐波那契数列,是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5,也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。而F[1,4]数列和F[2,5]数列的黄金特征是11,黄金特征31的数列除了F[2,7]外,还有F[3,8],其他前糊芝舟两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是成对出现的,他们都是:

F[1,3]的正负项绝对值也相等,第0项为2,第1项为1,对应于分数1/2。

而F[1,4]的正项绝对值与F[2,5]的负项绝对值相等,F[2,5]的正项绝对值与F[1,4]的负项绝对值相等,而且,他们的悼重弃充第0项都是3,第1项分别是1和2,所以他们对应互补的分数1/3和2/3,这样的数列就是孪生斐波那契—卢卡斯数列。每一对互补的分数(如1/4和3/4,1/5和4/5,2/5和3/5,或2/6和4/6等等)都对应一对孪生斐波那契—卢卡斯数列。

经过对斐波那契—卢卡斯数列和黄金特征、黄金比例的研究,我把自然数排列为如下的黄金阵列:

第1列的经验公式:[(2n-1)(√5+3)/4+0.5]的整数部分。

前10个黄金阶数5阶或5阶以上的数分别是8,13,21,26,34,42,47,55,63,68,他们之间两两相差5或8,我们称之为线个线)。